זהויות 3: הזהות היסודית sin²x + cos²x = 1 ו־tan xטריגונומטריה 571 · שיעור 40
טריגונומטריה · שאלון 571
שיעור 39 – זהויות 3: הזהות היסודית sin²x + cos²x = 1 ו־tan x
פרק 6 – זהויות טריגונומטריות
1נוסח השאלה
2סעיף א – הוכחת הזהויות
3סעיף ב – cos x ו־tan x
4סעיף ג – sin∢B
5סעיף ד – פישוט
📄 נוסח השאלה
א. במשולש ישר זווית ABC (∢C = 90) מסמנים ∢A = x , BC = a , AC = b , AB = c. הוכיחו כי sin2x + cos2x = 1 וכי tan x = sin xcos x.
ב. נתון sin x = 0.6 ו־x זווית חדה. מצאו את cos x ואת tan x בלי מחשבון.
ג. במשולש ABC נתון cos∢B = −0.28. מצאו את sin∢B.
ד. פשטו את הביטוי: (sin x + cos x)2 − 2 sin x · cos x.
סעיף א – הוכחת הזהויות
sin x = ac
📐 סינוס במשולש ישר זווית
cos x = bc
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
sin2x + cos2x = a2c2 + b2c2 = a2 + b2c2
a2 + b2 = c2
📐 משפט פיתגורס
sin2x + cos2x = c2c2 = 1
ועכשיו הטנגנס:
📐 סינוס במשולש ישר זווית
sin = ניצב מול הזוויתיתר
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
cos = ניצב ליד הזוויתיתר
📐 משפט פיתגורס
ניצב2 + ניצב2 = יתר2
סעיף א – הוכחת הזהויות · המשך
ועכשיו הטנגנס:
tan x = ab
📐 טנגנס במשולש ישר זווית
sin xcos x = ac : bc = ac · cb = ab
tan x = sin xcos x
הזהות sin2x + cos2x = 1 נכונה לכל זווית (גם לזווית קהה) – נשתמש בה הרבה בבגרות.
✅ פתרון סופי: sin2x + cos2x = 1 , tan x = sin xcos x
📐 טנגנס במשולש ישר זווית
tan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית
סעיף ב – cos x ו־tan x
sin x2 + cos2x = 1
📐 זהות יסודית
נציב את הנתון sin x = 0.6:
0.62 + cos2x = 1
0.36 + cos2x = 1
cos2x = 0.64
cos x = 0.8 או cos x = −0.8
📐 זהות יסודית
sin2x + cos2x = 1
סעיף ב – cos x ו־tan x · המשך
cos x = 0.8 או cos x = −0.8
הזווית חדה, ולכן הקוסינוס חיובי: cos x = 0.8.
tan x = sin xcos x = 0.60.8 = 0.75
📐 טנגנס
✅ פתרון סופי: cos x = 0.8 , tan x = 0.75
📐 טנגנס
tan x = sin xcos x
סעיף ג – sin∢B
sin2∢B + cos∢B2 = 1
📐 זהות יסודית
נציב את הנתון cos∢B = −0.28:
sin2∢B + (−0.28)2 = 1
sin2∢B = 1 − 0.0784 = 0.9216
sin∢B = 0.96 או sin∢B = −0.96
במשולש כל זווית בין 0 ל־180 מעלות, והסינוס שלה חיובי (גם כשהזווית קהה). לכן:
📐 זהות יסודית
sin2x + cos2x = 1
סעיף ג – sin∢B · המשך
במשולש כל זווית בין 0 ל־180 מעלות, והסינוס שלה חיובי (גם כשהזווית קהה). לכן:
✅ פתרון סופי: sin∢B = 0.96
סעיף ד – פישוט
נפתח לפי נוסחת הכפל המקוצר (a + b)2 = a2 + 2ab + b2:
(sin x + cos x)2 = sin2x + 2 sin x cos x + cos2x
(sin x + cos x)2 − 2 sin x cos x = sin2x + cos2x
sin2x + cos2x = 1
📐 זהות יסודית
✅ פתרון סופי: 1
📐 זהות יסודית
sin2x + cos2x = 1
📌 סיכום התשובות
סעיף א
הוכחה
סעיף ב
cos x = 0.8 , tan x = 0.75
סעיף ג
sin∢B = 0.96
סעיף ד
1
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא